证明费马点的简单方法
费马点的定义
费马点是指一个三角形内部的一个点，它与三角形三个顶点的距离之和最小。可以简单地理解为从这个点出发到三角形每个顶点的距离加起来最少。
证明费马点的存在性
我们可以用一种简单的方法来证明费马点的存在性。首先，我们连接三角形的三个顶点，然后在这三条边上分别作垂线。因为垂线是最短的线段，所以它所到达的点就是离三个顶点最近的点。
接下来，我们以这三个点为圆心画三个圆，三个圆的半径分别为到三个顶点的距离。可以发现，这三个圆的交点就是费马点。
这个结论可以通过勾股定理等知识来证明，但不是本文的重点。重要的是，费马点确实是存在的。
证明费马点的唯一性
费马点的存在性已经被证明了，但唯一性怎么证明呢？
我们考虑反证法。假设三角形内存在两个费马点，分别为P和Q。那么，从P出发到三个顶点的距离之和就应该等于从Q出发到三个顶点的距离之和。也就是说，我们有以下的方程组：
(1) |PA| + |PB| + |PC| = |QA| + |QB| + |QC|
(2) |PB| + |PC| + |QA| = |PC| + |PA| + |QB|
(3) |PC| + |PA| + |QB| = |PA| + |PB| + |QC|
我们可以将(1)式两边同时减去|QB|，将(2)式两边同时减去|PC|，将(3)式两边同时减去|PA|。这样，我们就得到了以下三个方程：
(1') |PA| + |PB| + |QC| = |QA| + |PB| + |PC|
(2') |PB| + |QC| + |PA| = |PC| + |QB| + |PA|
(3') |QC| + |PA| + |PB| = |PA| + |QB| + |PC|
我们注意到，左边的每一个式子都包括了|PA|、|PB|和|PC|三者中的两个。这表明，由于|PA|、|PB|和|PC|三者不可能完全相等，所以我们必须删去其中的两个。
假设我们删除了|PB|和|PC|，那么(1')式就变成了：
(1'') |PA| + |QC| = |QA| + |PB| + |PC|
不难发现，右边的等式是(3)式，也就是从费马点到三个顶点的距离之和，等于左边的两个线段之和。但是，我们知道费马点具有这样的性质，从它出发到三个顶点的距离之和是最小的。因此，如果|PA|+|QC|<|QA|+|PB|+|PC|，那么费马点就不可能在P或Q之间，这与我们的假设相矛盾。
同样的方式，我们可以删去|PA|和|PC|，或者|PB|和|PA|，来得到矛盾。
因此，费马点是唯一的。
总结
通过连接三角形的三个顶点，作垂线，以及画圆等简单的方法，我们可以证明费马点的存在性和唯一性。这个结论在许多数学问题中都有应用，例如生成最小生成树、近似求解最短路等。
